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id: unit4
title: 第四章  集合
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4.1 集合的基本概念

若元素a是集合A中的元素，则称a属于A，记为aEA，否则称a不属于A，记为aA。

集合A中的元素个数称为集合的基数或势，表示为｜AI。有限集的基数为自然数。如果一个无限集合可以跟自然数集合形成一一对应，则称其为可数无限集，反之称为不可数集合。

不包含任何元素的集合称为空集，记为Ø或｛｝。空集的基数为0，即｜Ø｜＝0。

［单选、填空、计算］集合的表示法。

1．列举法

将集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起全部元素，元素之间以逗号作分隔。

2．描述法

使用谓词来刻画集合元素的性质。谓词既可以使用自然语言，也可以使用形式语言。这种描述方式中，集合的表示格式为：S＝｛x｜P（x）｝。它表示的含义是：当P（b）为真时，b是S的元素。

3．图示法

用封闭曲线表示集合及其关系，封闭曲线内的点表示集合的元素，这种图称为文氏图（Venn Diagram）。一般地，使用圆或椭圆来代表集合概念，圆内的点表示集合内的元素，圆外的点表示不属于该集合的元素。最外面使用一个矩形框代表我们所讨论的论域。有时，使用阴影表示某个区域内的所有元素。

设A、B是任意两个集合，若A的每一个元素都属于B，则称A为B的子集，也称B包含A或A包含在B内。记作ACB或BつA。

如果集合A的每一个元素都属于B，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，记作ACB或BつA。

设A为任意集合，以A的子集为元素所组成的集合，称为集合A的幂集，记为9P（A）。


第4章集合 ·13·


若A是具有n个元素的有限集，则A的幂集9P（A）有2&quot;个元素。

4.2 集合的运算

［单选、填空、计算］集合的交、并、差、补、对称差。

1．集合的交

设任意两个集合A和B，由集合A和B的所有共同元素组成的集合S，称为A和B的交集，记为ANB。S＝AnB＝｛x｜（x€A）A（xEB）｝，如图4.1中阴影部分所示。

图4.1 S＝ANB


图4.2 S＝AUB

2．集合的并

设任意两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素组成的集合S称为A和B的并集，记作AUB．S＝AUB＝｛x｜（xEA）V（xEB）｝，如图4.2中阴影部分所示。

3．集合的差

设任意两个集合A和B，由属于A但不属于B的所有元素组成的集合S，称为A与B的差集，也称为B对于A的补集，或相对补，记作A-B。S＝A-B＝｛x｜xEAAxEB｝，如图4.3中阴影部分所示。


图4.3 S＝A-B


图4.4 S＝～A

4．集合的补

设E为全集，对任一集合A，关于E的补E-A，称为集合A的绝对补，记作：～A或A。～A＝E-A＝｛x｜xEEAxEA｝，如图4.4中阴影部分所示。

5．集合的对称差

设A、B为任意两个集合，A和B的对称差为集合S，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A，又属于B，记作A＋B。


={x|xE(A-B)VxE(B-A)}。

［证明］集合运算的恒等式（下表）。

表集合运算的恒等式

| 算律名称 | 公式 |
| --- | --- |
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 | V=VUV |
| 幂等律 |
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 | AUA=A |
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 | (AnB)nC=An(BnC) |
| 律 | (AUB)UC=AU(BUC) |
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 | ANB=BNA |
| 交换律 | AUB=BUA |
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 | AN(BUC)=(AnB)U(ANC) |
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 | AU(BnC)=(AUB)n(AUC) |
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 | ANBCA |
| 包含律 | ANBCB |
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 | ACAUB |
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 | BCAUB |
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 | ANE=A |
| 同一律 |
 |
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 | AUØ=A |
| 零律 | AnØ=Ø |
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 | AUE=E |
| 排中律 | AU~A=E |
| 矛盾律 | An~A=Ø |
| 吸收律 | AN(AUB)=A |
|
 | AU(ANB)=A |


·14·

离散数学

第4单·15·

（续表）

| （续表） |
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| 算律名称 | 公式 |
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 | A-(BUC)=(A-B)n(A-C) |
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 | A-(BnC)=(A-B)U(A-C) |
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 | ~(AUB)=~A0~B |
| 德摩根律 | ~(AnB)=~AU~B |
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 | ~Ø=E |
|
 | ~E= |
| 双重否定律 | ~(~A)=A |

［单选、填空、证明］对称差的性质。

设任意集合A、B、C，则有以下性质：

(1)A+B=B+A。

(2)A+Ø=A。

(3)A+A=Ø。

(4)A+B=(An~B)U(~ANB)。

(5)(A+B)+C=A+(B+C)。

(6)AUB=(An~B)U(Bn~A)U(AnB)。

(7)AUB=(A+B)U(ANB)。

4.3 有序对与笛尔儿积

由两个元素x和y（允许x＝y）按一定顺序排列成的二元组称为一个有序对或序偶，记作＜x，y＞或（x，y），其中x是该有序对的第一元素，y是该有序对的第二元素。

当x≠y时，＜x，y＞≠（y，x＞。

两个有序对相等，＜x，y＞＝＜u，v＞，当且仅当x＝u且y＝v。

［单选、填空、计算］笛卡儿积。

1．笛卡儿积的定义

设A、B为集合。用A中元素x为第一元素，B中元素y为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A和B的笛卡儿积，记作AxB。笛卡儿积也称为直积。


笛卡儿积的符号化表示为AxB＝｛＜x，y＞｜xEAAyEB｝。

2．笛卡儿积的性质

笛卡儿积运算具有以下性质：

（1）对任意集合A，AxØ＝Ø，ØxA＝Ø。

（2）笛卡儿积不满足交换律。

（3）笛卡儿积不满足结合律。

若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则AXB有m＊n 个元素。｜AxB｜＝｜A｜X｜B｜称为笛卡儿积的基数。
